若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）。

定理的证明：

连结AC，BD；

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。

△PAC∽△PDB；

PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD（若连结AD，BC也可证明）。

扩展资料：

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求线段长度。

当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。三条定理统称为圆幂定理。其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。

相交弦定理的推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。若a:b=b:c，则称b为a、c的比例中项。

这个推论揭示了弦与直径垂直相交的性质。推论在解题中有较广泛的应用，并给出了作两条已知线段比例中项的方法。